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みなかみ’s blog

忘備録と整理のために

条件付確率のエッセンス①

・条件付確率のお話し
 ・条件付確率
   事象A、事象Bがある。事象Bが起こった時、事象Aが起きる確率を知りたい。
   つまり、B→Aの構図が成り立つときの確率を知りたい。
   公式は
    P(A|B)=P(A∩B)/P(B) (P(B)>0)となっている。ちんぷんかんぷ

    んである。

   式を構成する言葉の意味を確認する。
    P(A|B)というのは、Bが起きるときAが起きる確率を意味する。
    PというのはProbabilityを指すのでP()というのは確率を意味する。
    つまりBが起きたときAが起こる確率は、
     AとBが同時に起きる確率をBの確率で割ると出るということになる。
    
    ちなみに重要な概念として、確率は、集合を構成する確率をすべて足すと1に

    ならないといけない。
    これは、P(S)=1という式で描かれる。(S=set:集合の英訳だと思う)。
    例えば、さいころはお互いに排反(同時に起こらない)な確率の集合体なの

    で、P(S)=P(a1)+P(a2)....+P(a6)=1となる
    
    P(S)=1となることから逸脱せず、条件付確率の式を書かないといけないのである。(確率は基本的に。)
    それでは、条件付確率の式を作るとき、S=1を成立させるにはどうすればいいか。
    先述の公式を考えるとき、B→Aの関係を思い出す必要がある。
    Bが起こった時のAの起こる確率を求めないといけない。
    このとき、P(A|B)が成立する条件は、Bが必ず起こることである。
    よって、Bが起こる条件を考える必要がある。
    
    事象A、Bから成り立つ組み合わせは、(A∩B)(Ac∩B)(A∩Bc)(Ac∩Bc)
    である(cというのは余事象を指す。つまり、BcはBの余事象である)
    このとき、条件に合致するのは(A∩B)(Ac∩B)である。
    
    なので、(A∩B)(Ac∩B)の組み合わせから、(A∩B)が起こる確率を導出しない

    といけない。
    最初の時点ではP(S)=(A∩B)+(Ac∩B)+(A∩Bc)+(Ac∩Bc)=1という

    設定がなされている。
    これを新たに、P(S)=(A∩B)+(Ac∩B)=1に再設定して、あらたな確率の空

    間を作ってやるのである。
    これで計算の前提はとりあえずひと段落する。
    
    ここで、事象の定義について再確認したい。
    事象というのは起こるか起こらないかの2択である。
    なので、事象Aの確率はP(A)+P(Ac)=1という公式も成立する。(余事象

    ではAが起こらない)
    
    じゃあ、事象AとBの関係の中で、事象Aが起こる確率というのはどう表現で

    きるか。
    AもBも起こる場合はP(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)(ABからABが同時に起こ

    る確率を引いてやると、ABの確率が出る)
    といういわゆる加法定理が成立する。
    じゃあ、Aだけが起こる確率は?
    P(A)=P(A∪B)-P(B)+P(A∩B)って式も考えられるけど、なんか汚い。
    P(A∪B)-P(B)ってのを簡潔にしたい。
    これは要は、P(B)の余事象とP(A)の積集合(つまり重なり合うところ)なの

    で、P(A∩Bc)という式を作れる。
    よって、Aのみが起こる確率を表す式は、P(A)=P(A∩Bc)+P(A∩B)という式に

    なる。なんかきれいになった。
    こいつが条件付確率と後述するベイズ定理を理解するときにも重要になる。
    
    条件付確率の話に戻る。
    P(A|B)=P(A∩B)/P(B) (P(B)>0)の式の意味を理解したい。
    P(S)=(A∩B)+(Ac∩B)=1で空間を再設定した。
    P(A∩B)ってのは事象A・Bが重なり合うところなんだなって理解ができ

    る。
    じゃあ、P(B)ってのはどういうことを指すのか。
    
    ここで、再設定した、(A∩B)+(Ac∩B)を思い出してほしい。
    P(A)=P(A∩Bc)+P(A∩B)になると先述したが、これはAとBの余事象とABの

    積集合を足したもの。
    つまり、Aの余事象とBの余事象を考えてやると、
    P(B)=P(A∩B)+P(Ac∩B)が成立する。
    つまり、P(A∩B)とP(Ac∩B)はP(B)が必ず起きる集合なのである。
    
    したがって、ABが同時に起きる確率を、Bが必ず起きる集合で割ってやれ

    ば、Bが起きるときAが起きる確率がわかるのである。
    P(A∩B)(Ac∩B)のなかで、Aが起きるのはP(A∩B)だけ。
    なので、p(A|B)が成立する式をもうちょい具体的に描くと、
    p(A|B)=P(A∩B)/P(A∩B)+(Ac∩B)(ABが同時に起こる確率/Bが起きる根

    源事象)となる。
    
    これが、条件付確率のエッセンスである。
    ちなみに、(P(B)>0)ってのは、事象Bの発生確率が0だとそもそも現象が起

    きないので式をつくる意味合いをなくすから設定する。
    なので、P(B)は事象Bが0以上の確率で発生することを示す。(ちなみに確率

    は0≦x≦1の値域の中でおさまる。だってS=1だもの。)
    
    ここで、注意すべきなのは、
    p(A|B)=P(A∩B)/P(A∩B)+(Ac∩B)と
    p(Ac|B)=P(Ac∩B)/P(A∩B)+(Ac∩B)の二つでS(全体の確率)=1になる

    ということ。
    さっきの式は、Aが発生する確率を求める式なので、逆に発生しない式もある

    ことを忘れてはいけない。
        
    
    ちなみに、P(A|B)=P(A∩B)/P(B)を応用すると、
    P(A∩B)=P(A|B)*P(B)〔P(A∩B)=P(A∩B)/P(B)*P(B)〕と

    いう確率の乗法定理が成立する。
    これは事象ABが同時に起きる確率を導出するのに使える。