みなかみ’s blog

忘備録と整理のために

条件付確率のエッセンス②(独立とベイズ)

条件付確率ー条件関係なしにAが発生する場合は?
 前回でBが発生したときAの発生する確率について述べたが、じゃあ、BAが関係ない場合はどうすればいいか。
 Bが発生してもしなくてもAが発生する場合は?
 このとき、P(A|B)の確率とP(A)の確率は同じになる。
 よって、以下の式が成立する。
 
  P(A|B)=P(A)(ただしこのときもP(B)>0)
  
  このとき、P(A)とP(B)は確率的に独立しているので、以下の式も成り立つ
  P(A∩B)=P(A)*P(B)(このときP(B)≧0)
  この式が成立するときは、P(A)とP(B)は独立していると考えられる。
  
  ちなみにこの式と、ABが関係がある場合の
  P(A∩B)=P(A|B)*P(B)
  と比較するとわかりやすいし、覚えやすい。上記の式にP(A|B)=P(A)を
  代入すると両式は全く同じになる。
  
ベイズの定理
 さっきの事象ABの確率を計算する式として、ベイズの定理という頭のおかしい公式がある。
 これは、P(A|B)の確率を求めたいけど、P(B|A)(Aが起こるときのBの起こる条件付確率)
 とP(A)P(B)しかわかってない時に、用いることができる。
 
 公式は以下。
 P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B|A)P(A)+P(B|Ac)P(Ac)
 
 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)より、
 P(A∩B)/P(B)=P(B|A)P(A)/P(B|A)P(A)+P(B|Ac)P(Ac)という式ができる。
 
 この公式の右辺を整理してやると、
 P(B|A)P(A)/P(B|A)P(A)+P(B|Ac)P(Ac)
 =P(B∩A)/P(A)*P(A)+P(B∩Ac)/P(Ac)*P(Ac)
 =P(B∩A)+P(B∩Ac)となる。
 ここで、先の記事に挙げた、
 P(B∩A)+P(B∩Ac)=P(B)という式を思い出してほしい。
 
 つまりベイズの公式は、
 P(B∩A)を、P(B)で割ってやるという、関係を示してるにすぎないのである。
 しかもこれは、P(A|B)=P(A∩B)/P(B)と全く同じなのである。
 
 
 条件付確率のエッセンスはここまで。